Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ

Διδάσκοντες Μιχαήλ Φιλιππάκης
Κατηγορία μαθήματος Κ
Κωδικός μαθήματος ΨΣ-002
Πιστωτικές μονάδες 7
Ώρες μαθήματος 4 ώρες
Ώρες εργαστηρίων 1 ώρα
Ηλεκτρονικό υλικό Προβολή στον Εύδοξο (Open e-Class)

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Στα πλαίσια του μαθήματος διδάσκονται ορισμοί, μαθηματικά αποτελέσματα, θεμελιώδεις μέθοδοι λογισμού πολλών μεταβλητών και θεωρίας fourier και βασικές μέθοδοι εξαγωγής συμπερασμάτων σχετικά με τα βασικά μαθηματικά εργαλεία ανάλυσης πολλών μεταβλητών που απαντώνται στη θεμελίωση και στην εφαρμογή της επιστήμης των υπολογιστών Το μάθημα υποστηρίζει άμεσα τα περισσότερα αντικείμενα και μαθήματα του προγράμματος σπουδών: Ας σημειωθεί πως κατά τη διάρκεια του μαθήματος συζητούνται συγκεκριμένα παραδείγματα με χρήση νέων Τεχνολογιών με τη βοήθεια προγραμμάτων όπως είναι το Matlab, το Octave,  και η R.

Μετά την επιτυχή παρακολούθηση αυτού του μαθήματος, ο φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση:

  • να γνωρίζει, να περιγράφει και να χειρίζεται τις βασικές γνώσεις της μαθηματικής ανάλυσης πολλών μεταβλητών (ενδεικτικά: Συνάρτηση Γάμμα και βήτα, Μετασχηματισμός Laplace, συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (παραγώγιση, ολοκλήρωση), ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων ,σειρά fourier, ολοκλήρωμα fourier, μετασχηματισμός fourier).
  • Να επιλέγει τις κατάλληλες μαθηματικές έννοιες και να μπορεί να μοντελοποιήσει το εκάστοτε πρόβλημα Πληροφορικής που καλείται να επιλύσει. Επιπλέον να αναπτύσσει μαθηματική σκέψη και να μπορεί να αναλύσει και να προσαρμόσει τις αποκτηθείσες γνώσεις σε εφαρμογές της επιστήμης των υπολογιστών. Έτσι να αναλύει με τρόπο κριτικό και υπεύθυνο τις ιδέες και τις πληροφορίες για τα στοιχεία εκείνα τα οποία τους αφορούν.
  • Να συνδυάζει τα βασικά συστατικά του Λογισμού πολλών μεταβλητών και θεωρίας Fourier προκειμένου να λύσει πολυπλοκότερα μαθηματικά προβλήματα και να επιλύει σύνθετα ή νέα προβλήματα του επιστημονικού πεδίου σπουδών τους αναπτύσσοντας ολοκληρωμένες δημιουργικές και καινοτόμες προσεγγίσεις, με τρόπο μεθοδικό και επιστημονικό ώστε να επιλύει της επιστήμης υπολογιστών.
  • Να γνωρίζει, να χειρίζεται και να κατανοεί τα προγράμματα Matlab, Octave και R πάνω σε εφαρμογές της μαθηματικής Ανάλυσης πολλών μεταβλητών και θεωρίας fourier στην επιστήμη των υπολογιστών.

 

Περιεχόμενα

  • Γενικευμένα Ολοκληρώματα (Α είδους, Β είδους, Μικτού είδους)
  • Βήτα συνάρτηση – Γάμμα συνάρτηση και εφαρμογές. Συνάρτηση Bessel και εφαρμογές σε δίκτυα-κρυπτογραφία
  • Μετασχηματισμός Laplace-Μετασχηματισμός Z. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση μετασχηματισμού Laplace και μετασχηματισμού Ζ. Εφαρμογές αυτών.
  • Διανυσματικές συναρτήσεις-συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων
  • Ακρότατα συναρτήσεων δύο και τριών μεταβλητών με ή χωρίς δεύσμευση. Πολλαπλασιαστές Lagrange και εφαρμογές σε δίκτυα και σε προβλήματα βελτιστοποίησης σε θεωρία πληροφορίας
  • Διπλό ολοκλήρωμα-κλασικοί μετασχηματισμοί. Θεωρία αλλαγής μεταβλητών. Τριπλό ολοκλήρωμα-κλασικοί μετασχηματισμοί (σφαιρικές-κυλινδρικές συντεταγμένες)-εφαρμογές
  • Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων. Σειρές Taylor και ιδιότητες.
  • Θεωρία Fourier. Τριγωνομετρική σειρά Fourier, Μετασχηματισμοί Fourier-Ολοκλήρωμα Fourier
  • Θεωρία καμπυλών (κλίση-περιστροφή-απόκλιση). Διανυσματικό πεδίο-συντηρητικό πεδίο και εφαμογές
  • Επικαμπύλια ολοκληρώματα (α είδους, β είδους) , θεώρημα Green-Επιφανειακά ολοκληρώματα (α είδους, β είδους) θεώρηματα Gauss, Stokes και εφαρμογές.

Προτεινόμενα Συγγράμματα

  • Μ. Φιλιππάκης, Εφαρμοσμένη ανάλυση και Θεωρία Fourier, Εκδόσεις Τσότρας, Β έκδοση, Αθήνα 2017.
  • Ζygmund A., Τριγωνομετρικές σειρές.
  • Σημειώσεις διδάσκοντα.

Πρόσθετη βιβλιογραφία

Στο σύστημα ΕΥΔΟΞΟΣ αναρτώνται σε ηλεκτρονική μορφή χρήσιμες πληροφορίες καθώς και ασκήσεις για την εξάσκηση των φοιτητών/τριών.