- Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων - https://www.ds.unipi.gr -

Εφαρμοσμένη Ανάλυση & Θεωρία Fourier

[1]Εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις μαθηματικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται συνήθως στους τομείς των άλλων θετικών επιστημών, των τηλεπικοινωνιών των ψηφιακών συστημάτων, της πληροφορικής και ευρύτερα της τεχνολογίας για την επίλυση θεωρητικών ή πρακτικών προβλημάτων και στη διαμόρφωση και μελέτη μαθηματικών μοντέλων. Πρόκειται για έναν γνωστικό τομέα με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά ο οποίος τέμνεται με άλλες επιστήμες όπως η ηλεκτρονική μηχανική η επιστήμη ηλεκτρολόγου μηχανικού, η πληροφορική.

Η Θεωρία Fourier είναι ένα πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών το οποίο προέκυψε από την προσπάθεια αναπαράστασης μίας συνάρτησης ως άθροισμα απλούστερων περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Κεντρική ιδέα στην Θεωρία Fourier είναι η προσπάθεια για κατανόηση των ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (η οποία μπορεί να αναπαριστά π.χ. ένα σήμα) μέσω διάσπασής της σε γνωστά, στοιχειώδη μέρη (αποσύνθεση). Η ανάστροφη διαδικασία, η κατασκευή μίας συνάρτησης από γνωστές, βασικές συναρτήσεις, ονομάζεται σύνθεση. Η Θεωρία Fourier ξεκίνησε από τον Ζοζέφ Fourier στην προσπάθειά του να ερευνήσει τη διάδοση της Θερμότητας.

Η ανάλυση Fourier έχει πολλές επιστημονικές εφαρμογές όπως στη φυσική, στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, στη θεωρία αριθμών, στη συνδυαστική ανάλυση, στην επεξεργασία σήματος, στην επεξεργασία εικόνας, στη στατιστική, στην κρυπτογραφία, στην αριθμητική ανάλυση, στην ακουστική, στην ωκεανογραφία, στην οπτική και σε πολλούς άλλους τομείς.

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κυρίως σε φοιτητές Πολυτεχνικών Σχολών, σε φοιτητές Πληροφορικής, Ψηφιακών Συστημάτων, Επιστήμης Τηλεπικοινωνιών, Θετικών Επιστημών καθώς επίσης και σε φοιτητές Τεχνολογικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων συναφή τμημάτων. Η προσπάθεια αυτού του βιβλίου έγκειται στη παρουσίαση των εννοιών με τρόπο απλό χωρίς ιδιαίτερα προαπαιτούμενα χωρίς πολλές αποδείξεις στη θεωρία και με τη βοήθεια πολλών γραφημάτων ώστε να γίνουν κατανοητές οι έννοιες και η εφαρμογή της θεωρίας σε πρακτικά προβλήματα.

Το βιβλίο αυτό αποτελείται από τα ακόλουθα 8 κεφάλαια.

Τα 6 πρώτα κεφάλαια απαρτίζουν όλο το εύρος του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού Συναρτήσεων πολλών Μεταβλητών. Σε κάθε κεφάλαιο διατυπώνονται τα βασικά θεωρήματα μαζί με λυμένα υποδειγματικά παραδείγματα ώστε να γίνεται κατανοητός ο τρόπος χρήσης της θεωρίας. Επιπλέον υπάρχουν πολλές γραφικές παραστάσεις ώστε να μπορεί να έχει ο αναγνώστης καλύτερη εποπτεία του προβλήματος αφού αυτά σχετίζονται με το επίπεδο και το χώρο.

Το 7 κεφάλαιο αποτελεί σημαντικό μαθηματικό υπόβαθρο ώστε να καταλάβει ο αναγνώστης το κεφάλαιο 8 που αναφέρεται στη Θεωρία & Ανάλυση Fourier. Ομοιώς και σε αυτά τα κεφάλαια διατυπώνται τα βασικά θεωρήματα μαζί με πολλά υποδειγματικά λυμένα παραδείγματα και εφαρμογές.

Σε κάθε κεφάλαιο στο τέλος της θεωρίας υπάρχουν επιπλέον αρκετές λυμένες εφαρμογές με τη χρήση των μαθηματικών πακέτων Mathematica και Matlab με τις εντολές και τις γραφικές παραστάσεις για την καλύτερη εμπέδωση των εννοιών. Επίσης στο τέλος κάθε κεφάλαιου υπάρχουν εκτός απο τα λυμένα παραδείγματα πολλές λυμένες ασκήσεις ώστε ο αναγνώστης να αποκτήσει τη γνώση για την επίλυση βασικών προβλημάτων των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θεωρίας Fourier. Καλό είναι ο αναγνώστης να λύσει αρκετές ασκήσεις αφού αυτές είναι αναγκαίες-αλλά οχι ικανές- για την κατανόηση και εκμαθηση των εννοιών και μετά να προσπαθήσει να λύσει τις άλυτες ασκήσεις που υπάρχουν στο τέλος κάθε κεφαλαίου.

Η δομή του βιβλίου αυτού προέρχεται από τη διδακτική εμπειρία του μαθήματος αυτού στους φοιτητές/τριες κυρίως του τμήματος Ψηφιακών Συστημάτων του Πανεπιστημίου Πειραιώς αλλά και άλλων συναφή τμημάτων των Α.Ε.Ι., Τ.Ε.Ι, Ε.Μ.Π. Η κριτική σκέψη των φοιτητών κυρίως των Ψηφιακών Συστημάτων, οι ποικίλες απορίες τους και υποδείξεις τους βελτίωσαν αισθητά το περιεχόμενο των διαλέξεων και κατά συνέπεια το παρόν βιβλίο και τους ευχαριστώ πολύ.

Λεπτομέρειες